几何 · 三角形进阶
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和，正好等于斜边的平方。
先动手看看
拖动图上的点，两条直角边跟着变；下面实时显示两边平方的和与斜边平方，看看它们是不是总相等。
拖动点，看直角边与斜边一起变
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它在说什么
把直角三角形的两条直角边分别平方，加起来，正好等于斜边的平方：
a² + b² = c²
这里的 c 一定是斜边——直角的对面、最长的那条边。先找直角，再找它对面那条边，这是不出错的第一步。
为什么成立
想象三条边各自向外长出一个正方形：两条直角边上各一个，斜边上再长一个大的。定理的意思是：两个小正方形的面积加起来，正好等于那个大正方形。
拿方格纸就能自己验证：以 3 和 4 为直角边画三角形，两个小正方形分别是 9 格和 16 格，斜边上的正方形正好是 25 格。
常用的勾股数
| 直角边 a | 直角边 b | 斜边 c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
一组勾股数同乘一个数，还是勾股数：3-4-5 乘 2 得 6-8-10，乘 3 得 9-12-15。
什么时候会用到
- 已知两条边求第三条：平方相加再开方；
- 判断是不是直角：最长边的平方，与另外两条边平方和比较，相等就是直角；
- 量对角线：一块长 4 米、宽 3 米的地，对角线就是 5 米——木工拉线找直角用的就是这个。
几个例子
两条直角边是 3 和 4，斜边多长？
5
3² + 4² = 9 + 16 = 25，25 开方得 5。
两条直角边是 6 和 8，斜边多长？
10
36 + 64 = 100，100 开方得 10。3-4-5 同乘 2 还是勾股数。
直角边 5 和 12，斜边多长？
13
25 + 144 = 169，169 开方得 13。
三条边是 8、15、17，是直角三角形吗？
是
8² + 15² = 64 + 225 = 289，而 17² 也是 289，所以是直角。
做两题
认概念勾股定理 a² + b² = c² 里，c 指的是哪条边？
写错边是这类题最常见的错——先找直角，再找它对面那条边。
提示：直角是两条直角边夹出来的，对着它的那条边最长。
算一算直角边 6 和 8，斜边多长？
36 + 64 = 100，√100 = 10。注意 6 + 8 = 14 是错的。
提示：先算 6² + 8²，再开平方，不是把两条边直接相加。
换个数字一个三角形三边是 5、12、13，它是直角三角形吗？
25 + 144 = 169 = 13²，反过来用定理就能判定直角。
提示：把最长边单独放一边，另外两条边平方和跟它比。
三题都做完了，已记进本机进度（只存在你的浏览器里）。